Question

19．如图，正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，点D，E分别是A₁C，AB的中点．
（1）求证：ED∥平面BB₁C₁C；
（2）若AB=$\sqrt{2}$BB₁，求证：A₁B⊥平面B₁CE．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁，BC₁，则DE∥BC₁，由此能证明ED∥平面BB₁C₁C．
（2）推导出CE⊥AB，从而CE⊥平面ABB₁A₁，进而CE⊥A₁B，再推导出Rt△A₁B₁B∽Rt△B₁BE，从而A₁B⊥B₁E，由此能证明A₁B⊥平面B₁CE．

解答 证明：（1）连结AC₁，BC₁
∵AA₁C₁C是矩形，D是A₁C的中点，∴D是AC₁的中点，
在△AA₁C₁C中，∵D、E分别是AC₁、AB的中点，
∴DE∥BC₁，
∵DE?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴ED∥平面BB₁C₁C．
（2）∵△ABC是正三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，
又∵正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，交线为AB，
∴CE⊥平面ABB₁A₁，
∴CE⊥A₁B，
在矩形ABB₁A₁中，∵$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{B}_{1}B}=\sqrt{2}=\frac{{B}_{1}B}{BE}$，
∴Rt△A₁B₁B∽Rt△B₁BE，∴∠B₁A₁B=∠BB₁E，
∴∠B₁A₁B+∠A₁B₁E=∠BB₁E+∠A₁B₁E=90°，
∴A₁B⊥B₁E，
∵CE，B₁E?平面B₁CE，CE∩B₁E=E，
∴A₁B⊥平面B₁CE．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．