Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，若点A，B关于原点对称，则k₁•k₂的值为-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 椭圆的离心率是e=$\frac{c}{a}$，则a=2b，则椭圆的方程可化为：x²+4y²=4b²．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x₀，kx₀），B（-x₀，-kx₀）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=2b，
于是椭圆的方程可化为：x²+4y²=4b²．
设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x₀，kx₀），B（-x₀，-kx₀）．
则m²+4n²=4b²，x₀²+4k²x₀²=4b²．
m²-x₀²=4k²x₀²-4n²，
∴k₁•k₂=$\frac{k{x}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$×$\frac{-k{x}_{0}-n}{-{x}_{0}-m}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{{m}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{4{k}^{2}{x}_{0}^{2}-4{n}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．
k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．