Question

5．已知椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点，椭圆D与双曲线E在第一象限的交点在直线y=2x上，则椭圆D的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得双曲线方程，设椭圆与双曲线在直线y=2x上的交点（m，2m），把该点坐标分别代入椭圆与双曲线方程，消去m，化简整理得答案．

解答 解：由题意可得，双曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
设椭圆D与双曲线E的一个交点坐标为（m，2m），
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{m}^{2}}{{b}^{2}}=1$，①
$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}-\frac{4{m}^{2}}{{b}^{2}}=1$，②
联立①②，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}-{b}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}$．
整理得：8a⁴-8a²b²-b⁴=0．
∴${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}{b}^{2}$，
则${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}（{a}^{2}-{c}^{2}）$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}=5-2\sqrt{6}$，
则$\frac{c}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查计算能力，属中档题．