Question

15．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点P（$\sqrt{3}$，1）且离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（-4，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若△AMN面积为3$\sqrt{3}$，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又a²=b²+c²，联立解得：a²，b²，c．可得椭圆C的方程．
（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：$\frac{4}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y．则S_△AMN≠3$\sqrt{3}$，舍去．
②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x-2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m²+3）y²+4my-2=0．可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．利用S_△AMN=$\frac{1}{2}×6×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=3$\sqrt{3}$即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又a²=b²+c²，
联立解得：a²=6，b²=2，c=2．
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）F（2，0）．
①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：$\frac{4}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
则S_△AMN=$\frac{1}{2}×6×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=2$\sqrt{6}$≠3$\sqrt{3}$，舍去．
②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x-2．
把x=my+2代入椭圆方程可得：（m²+3）y²+4my-2=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+3}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-4m}{{m}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{-2}{{m}^{2}+3}}$=$\frac{2\sqrt{6（{m}^{2}+1）}}{{m}^{2}+3}$．

则S_△AMN=$\frac{1}{2}×6×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=3×$\frac{2\sqrt{6（{m}^{2}+1）}}{{m}^{2}+3}$=3$\sqrt{3}$，解得m=±1．
∴直线MN的方程为：y=±（x-2）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．