Question

14．已知数列{a_n}和{b_n}满足：${a_{n+k}}-{（{-1}）^k}•{a_n}={b_n}（n∈{N^*}）$．
（1）若$k=1，{a_1}=1，{b_n}={2^n}$，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若k=4，b_n=8，a₁=4，a₂=6，a₃=8，a₄=10．
①求证：数列{a_n}为等差数列；
②记数列{a_n}的前n项和为S_n，求满足${（{{S_n}+1}）^2}-\frac{3}{2}{a_n}+33={k^2}$的所有正整数k和n的值．

Answer 1

分析 （1）当k=1时，有${a_n}+{a_{n+1}}={2^n}$，得${a_{n+1}}-\frac{1}{3}•{2^{n+1}}=-（{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}）$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）①证明：当k=4时，有a_n+4-a_n=8（n∈N^*），n=4m（m∈N^*）时，a_4（m+1）-a_4m=8，所以{a_4m}为等差数列；同理可得：n=4m-1（m∈N^*）时，a_4（m+1）-1-a_4m-1=8，所以{a_4m-1}为等差数列；n=4m-2（m∈N^*）时，n=4m-3（m∈N^*）时，都为等差数列；可得a_n+1-a_n=2，所以数列{a_n}为等差数列．
②由①知，a_n=2n+2，则${S_n}={n^2}+3n$（n∈N^*）；由${（{S_n}+1）^2}-\frac{3}{2}{a_n}+33={k^2}$，得（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²．对n，k分类讨论：当n=10时，k=131；当n＞10时，则k＜n²+3n+1，因为k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，所以k＞n²+3n；不存在．n≤9时验证即可得出．

解答 解：（1）当k=1时，有${a_n}+{a_{n+1}}={2^n}$，得${a_{n+1}}-\frac{1}{3}•{2^{n+1}}=-（{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}）$，
令${c_n}={a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}$，${c_1}={a_1}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}≠0$，所以$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}=-1$，
所以数列{c_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为-1的等比数列；所以${c_n}=\frac{1}{3}{（-1）^{n-1}}$，
即${a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}=\frac{1}{3}{（-1）^{n-1}}$，所以${a_n}=\frac{1}{3}•[{{2^n}+{{（-1）}^{n-1}}}]$（n∈N^*）．（4分）
（2）①证明：当k=4时，有a_n+4-a_n=8（n∈N^*），n=4m（m∈N^*）时，a_4（m+1）-a_4m=8，所以{a_4m}为等差数列；a_4m=10+8（m-1）=8m+2（m∈N^*）；n=4m-1（m∈N^*）时，a_4（m+1）-1-a_4m-1=8，所以{a_4m-1}为等差数列；a_4m-1=8+8（m-1）=8m（m∈N^*）；n=4m-2（m∈N^*）时，a_4（m+1）-2-a_4m-2=8，所以{a_4m-2}为等差数列；a_4m-2=6+8（m-1）=8m-2（m∈N^*）；n=4m-3（m∈N^*）时，a_4（m+1）-3-a_4m-3=8，所以{a_4m-3}为等差数列；a_4m-3=4+8（m-1）=8m-4（m∈N^*）；
所以a_n=2n+2（n∈N^*），a_n+1-a_n=2，所以数列{a_n}为等差数列．（10分）
②由①知，a_n=2n+2，则${S_n}={n^2}+3n$（n∈N^*）；
由${（{S_n}+1）^2}-\frac{3}{2}{a_n}+33={k^2}$，得（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²；
当n=10时，k=131；
当n＞10时，则k＜n²+3n+1，因为k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，所以k＞n²+3n；
从而n²+3n＜k＜n²+3n+1，因为k和n为正整数，所以不存在正整数k；
当n＜10时，则k＞n²+3n+1，因为k为正整数，所以k≥n²+3n+2，
从而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²，即2n²+9n-27≤0，
因为n为正整数，所以n=1或n=2；
当n=1时，k²=52，k不是正整数；当n=2时，k²=145，k不是正整数；
综上，满足题意的所有正整数k和n分别为n=10，k=131．（16分）

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．