Question

4．已知$α∈（0，\frac{π}{2}）$，且$2cos2α=cos（α-\frac{π}{4}）$，则sin2α的值为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $-\frac{1}{8}$
• C． $-\frac{7}{8}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 $2cos2α=cos（α-\frac{π}{4}）$，可得2（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα），由$α∈（0，\frac{π}{2}）$，可得cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，再与cos²α+sin²α=1联立，解得cosα，sinα，即可得出．

解答 解：∵$2cos2α=cos（α-\frac{π}{4}）$，
∴2（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα），
由$α∈（0，\frac{π}{2}）$，可得cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
与cos²α+sin²α=1联立，解得cosα=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$，sinα=$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{8}$．
则sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$×$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{8}$=$\frac{7}{8}$．
故选：D．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．