Question

13．已知椭圆$P：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点为F（1，0），且经过点$（{\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}）$
（1）求椭圆P的方程；
（2）已知正方形ABCD的顶点A，C在椭圆P上，顶点B，D在直线7x-7y+1=0上，求该正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a²-b²=1，$\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，联立解出即可得出．
（2）ABCD为正方形，可得AC⊥BD，设直线AC的方程为：y=-x+m．代入椭圆方程可得：7x²-8mx+4m²-12=0，△＞0，解得$-\sqrt{7}$＜m$＜\sqrt{7}$，设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：线段AC的中点M$（\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}）$．由点M在直线BD上，代入解得m=-1∈$（-\sqrt{7}，\sqrt{7}）$．可得直线AC的方程为：x+y+1=0．可得|AC|=$\sqrt{1+（-1）^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．可得该正方形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}|AC{|}^{2}$．

解答 解：（1）由题意可得：a²-b²=1，$\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，联立解得a²=4，b²=3．
∴椭圆P的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，设直线AC的方程为：y=-x+m．
代入椭圆方程可得：7x²-8mx+4m²-12=0，
△=64m²-28（4m²-12）＞0，解得$-\sqrt{7}$＜m$＜\sqrt{7}$，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8m}{7}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{7}$，y₁+y₂=2m-（x₁+x₂）=2m-$\frac{8m}{7}$=$\frac{6m}{7}$．
∴线段AC的中点M$（\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}）$．
由点M在直线BD上，∴7×$\frac{4m}{7}$-7×$\frac{3m}{7}$+1=0，解得m=-1∈$（-\sqrt{7}，\sqrt{7}）$．
∴直线AC的方程为：x+y+1=0．
|AC|=$\sqrt{1+（-1）^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）}$=$\frac{24}{7}$．
∴该正方形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}|AC{|}^{2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{24}{7}）^{2}$=$\frac{288}{49}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．