Question

2．已知动点P到双曲线${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦点F₁、F₂的距离之和为4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的标准方程；
（Ⅱ）若过点F₁的直线l交轨迹E于A，B两个不同的点，试问：在x轴上能否存在一个定点M，使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$为定值λ？若存在，请求出定点M与定值λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线方程求出焦点坐标，再由动点P到F₁、F₂的距离之和为4，结合椭圆定义可得动点P的轨迹E是以
F₁、F₂为焦点，以4为长轴长的椭圆，则动点P的轨迹E的标准方程可求；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为$y=k（x+\sqrt{3}）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B横坐标的和与积，结合$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$为定值λ，得$（4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11-4λ）{k}^{2}+{m}^{2}-4-λ=0$对任意k∈R均成立．得到$\left\{{\begin{array}{l}{4{m^2}+8\sqrt{3}m+11-4λ=0}\\{{m^2}-4-λ=0}\end{array}}\right.$，解得m与λ的值，可得当直线l的斜率存在时，存在定点$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$满足条件，此时定值$λ=-\frac{13}{64}$；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：$x=-\sqrt{3}$．联立直线方程与椭圆方程，解得A，B的坐标，对于定点$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$，满足$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=$-\frac{13}{64}$．可得存在定点$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$满足条件，此时定值$λ=-\frac{13}{64}$．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂是双曲线${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦点，
∴${F_1}（-\sqrt{3}，0）$，${F_2}（\sqrt{3}，0）$，
∵动点P到F₁、F₂的距离之和为4，
∴动点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点，以4为长轴长的椭圆，
∴动点P的轨迹E的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）①当直线l的斜率存在时，
可设直线l的方程为$y=k（x+\sqrt{3}）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，得$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}+8\sqrt{3}{k}^{2}x+12{k}^{2}-4=0$．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$．
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=（m-{x_1}，-{y_1}）•（m-{x_2}，-{y_2}）$=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂
=$（m-{x_1}）（m-{x_2}）+{k^2}（{x_1}+\sqrt{3}）（{x_2}+\sqrt{3}）$
=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+（\sqrt{3}{k^2}-m）（{x_1}+{x_2}）+3{k^2}+{m^2}$
=$（{k^2}+1）×\frac{{12{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}+（\sqrt{3}{k^2}-m）（-\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{4{k^2}+1}}）+3{k^2}+{m^2}$
=$\frac{{（4{m^2}+8\sqrt{3}m+11）{k^2}+{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$．
由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=λ$，得$\frac{（4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11）{k}^{2}+{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}=λ$，
∴$（4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11-4λ）{k}^{2}+{m}^{2}-4-λ=0$对任意k∈R均成立．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{4{m^2}+8\sqrt{3}m+11-4λ=0}\\{{m^2}-4-λ=0}\end{array}}\right.$，解得$m=-\frac{9\sqrt{3}}{8}，λ=-\frac{13}{64}$．
∴当直线l的斜率存在时，存在定点$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$满足条件，此时定值$λ=-\frac{13}{64}$；
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：$x=-\sqrt{3}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．
不妨取$A（-\sqrt{3}，-\frac{1}{2}），B（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．
对于定点$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}+\sqrt{3}，\frac{1}{2}）•（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}+\sqrt{3}，-\frac{1}{2}）=-\frac{13}{64}$．
∴当直线l的斜率不存在时，定点$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$也满足条件，此时定值$λ=-\frac{13}{64}$．
综上可知：存在定点$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$满足条件，此时定值$λ=-\frac{13}{64}$．

点评 本题考查双曲线标准方程的求法，考查了双曲线的简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．