Question

17．已知函数f（x）=$\frac{lnx+ax+1}{x}$．
（1）若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：x₁²+x₂²＞2．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最值，进而求出a的范围；
（2）求出导函数，根据极值点判断函数的零点位置，对零点分类讨论，构造函数，利用放缩法，均值定理证明结论成立．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{lnx+ax+1}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+a+$\frac{1}{x}$．
f''（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，l）上递增，（1，+∞）上递减，
∴f（x）≤f（1）=a+1，
∴a+1＜0，
∴a＜-1；
（2）由（1）知，两个不同零点x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
若x₂∈（1，2），则2-x₂∈（0，1），
设g（x）=f（x）-f（2-x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{ln（2-x）}{2-x}$-$\frac{1}{2-x}$，则当x∈（0，1）时，
g'（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-$\frac{ln（2-x）}{（2-x）^{2}}$＞-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-$\frac{ln（2-x）}{{x}^{2}}$=-$\frac{ln（2x-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$=-$\frac{ln[-（x-1）^{2}+1]}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（0，1）上递增，
∴g（x）＜g（1）=0，
∴f（x）＜f（2-x），
∴f（2-x₁）＞f（x₁）=f（x₂），
∴（2-x₁）＜x₂，
∴2＜x₁+x₂，
若若x₂∈（2，+∞），可知2＜x₁+x₂，显然成立，
∵2（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）＞$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$＞4，
∴x₁²+x₂²＞2．

点评 本题考查了导函数的应用，最值问题的转化思想，难点是对参数的分类讨论和均值定理的应用．