Question

10．已知抛物线E：x²=4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）若点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值；
（2）过A，B分别作抛物线E的切线l₁，l₂，若l₁与l₂交于点P，求$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，根据函数的单调性即可求得四边形OACB面积的最小值；
（2）求导，利用点斜式方程，求得求得切线l₁，l₂的方程，联立求得P点坐标，根据向量的坐标运算，即可求得$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$的值．

解答 解：（1）易知F（0，1）．由题意可知，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+1，
将直线AB的方程与抛物线方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-4=0，-----------（2分）
设A（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．-----------------（4分）
因为原点O关于点M的对称点为C，
∴S_{四边形OACB}=2S_△AOB=2×$\frac{1}{2}$×丨OF丨|x₁-x₂|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+16}$≥4，
当k=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．----------------（6分）
（2）由x²=4y，得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，则y′=$\frac{x}{2}$，
∴l₁的方程为y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{{x}_{1}x}{2}$-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$．①
同理可得l₂的方程为y=$\frac{{x}_{2}x}{2}$-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$，②（8分）
由①②得x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k，y=$\frac{{x}_{1}x}{2}$-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=-1，----------------（10分）
∴点P的坐标为（2k，-1），
$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（\frac{{x}_{1}^{2}}{4}-1）（\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-1）}{4{k}^{2}+4}$=$\frac{16{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}-4[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]+16}{64{k}^{2}+64}$，
=$\frac{-64+16-4（16{k}^{2}+8）+16}{64{k}^{2}+64}$=-1，
$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$的值-1．------------------（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．