Question

20．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，则下列四个命题中，错误的是（　　）

• A． 若数列{a_n}是公差为d的等差数列，则数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差为$\frac{d}{2}$的等差数列
• B． 若数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是公差为d的等差数列，则数列{a_n}是公差为2d的等差数列
• C． 若数列{a_n}是等差数列，则数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列
• D． 若数列{a_n}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a_n}是等差数列

Answer 1

分析 根据等差数列的通项公式和前n项和公式进行分析，并作出判断．

解答 解：A、若等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，前n项的和为S_n，则数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等差数列，且通项为$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+（n-1）$\frac{d}{2}$，即数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差为$\frac{d}{2}$的等差数列，故说法正确；
B、由题意得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+（n-1）d，所以S_n=na₁+n（n-1）d，则a_n=S_n-S_n-1=a₁+2（n-1）d，即数列{a_n}是公差为2d的等差数列，故说法正确；
C、若数列{a_n}是等差数列的公差为d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d的等差数列，说法正确；
D、若数列{a_n}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a_n}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．