Question

5．已知f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若$g（x）=|{x+\frac{3}{2}}|+|{x-\frac{3}{2}}|（x∈$R），求证：$\frac{{|{a+1}|-|{2a-1}|}}{|a|}≤g（x）$对?a∈R，且a≠0成立．

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解出；
（2）利用绝对值不等式的性质转化得出．

解答 解：（1）当x≤-1时，不等式f（x）≤x+2为：1-x-x-1≤x+2，解得x≥-$\frac{2}{3}$（舍）；
当-1＜x≤1时，不等式f（x）≤x+2为：1-x+x+1≤x+2，解得x≥0，∴0≤x≤1；
当x＞1时，不等式f（x）≤x+2为：x-1+x+1≤x+2，解得x≤2，∴1＜x≤2．
综上，f（x）≤x+2的解集为{x|0≤x≤2}．
（2）∵g（x）=|x+$\frac{3}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≥|x+$\frac{3}{2}$-x+$\frac{3}{2}$|=3，
而$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$≤$|{\frac{{|{a+1}|-|{2a-1}|}}{|a|}}|=|{|{1+\frac{1}{a}}|-|{2-\frac{1}{a}}|}|$≤|1+$\frac{1}{a}$+2-$\frac{1}{a}$|=3，
∴$\frac{{|{a+1}|-|{2a-1}|}}{|a|}≤g（x）$对?a∈R，且a≠0成立．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质与解法，属于中档题．