Question

10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为菱形且$∠BA{A_1}={60^o}$，D，M分别为CC₁和A₁B的中点，A₁D⊥CC₁，AA₁=A₁D=2，BC=1．
（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 由已知可得${A_1}C={A_1}{C_1}=\sqrt{5}=AC$，CB⊥平面ABB₁A₁，取AA₁中点F可得BC，BF，BB₁两两互相垂直
以B为原点，BB₁，BF，BC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，B₁（2，0，0），C（0，0，1），$A（-1，\sqrt{3}，0）$，${A_1}（1，\sqrt{3}，0）$，C₁（2，0，1），D（1，0，1），$M（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，利用空间向量求解．

解答 解：∵A₁D⊥CC₁，且D为中点，AA₁=A₁D=2，∴${A_1}C={A_1}{C_1}=\sqrt{5}=AC$，
又 BC=1，AB=BA₁=2，∴CB⊥BA，CB⊥BA₁，（1分）
又 BA∩BA₁=B，∴CB⊥平面ABB₁A₁，（2分）
取AA₁中点F，则BF⊥AA₁，即BC，BF，BB₁两两互相垂直，（3分）
以B为原点，BB₁，BF，BC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，B₁（2，0，0），C（0，0，1），$A（-1，\sqrt{3}，0）$，${A_1}（1，\sqrt{3}，0）$，C₁（2，0，1），D（1，0，1），$M（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$（4分）

（I） $\overrightarrow{MD}=（\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}m•\overrightarrow{BA}=-x+\sqrt{3}y=0\\ m•\overrightarrow{BC}=z=0.\end{array}\right.$，取$m=（\sqrt{3}，1，0）$，（6分）
∵$m•\overrightarrow{MD}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+0=0$，∴$m⊥\overrightarrow{MD}$，（7分）
又MD?平面ABC，∴直线MD∥平面ABC．（8分）
（II） 设平面ACA₁的法向量为n=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{AC}=（1，-\sqrt{3}，1），\overrightarrow{A{A_1}}=（2，0，0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}n•\overrightarrow{AC}={x_1}-\sqrt{3}{y_1}+{z_1}=0\\ n•\overrightarrow{A{A_1}}={x_1}=0.\end{array}\right.$，取$n=（0，1，\sqrt{3}）$，（10分）
又由（Ⅰ）知平面ABC的法向量为$m=（\sqrt{3}，1，0）$，
设二面角B-AC-A₁为θ，
∴$cosθ=|\frac{m•n}{|m|•|n|}|=\frac{1}{2•2}=\frac{1}{4}$，（11分）
∴二面角B-AC-A₁的余弦值为$\frac{1}{4}$   （12分）

点评 本题考查了空间线面平行的判定，向量法二面角的余弦值，属于中档题．