Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点为F，若点F关于直线$y=-\frac{1}{2}x$的对称点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 求出F关于直线$y=-\frac{1}{2}x$的对称点P的坐标，代入椭圆方程，整理可得椭圆C的离心率．

解答 解：椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点F（-c，0），
设F关于$y=-\frac{1}{2}x$的对称点P（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=-\frac{1}{2}•\frac{{x}_{0}-c}{2}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{3}{5}c}\\{{y}_{0}=\frac{4}{5}c}\end{array}\right.$．
∴P（$-\frac{3}{5}c，\frac{4}{5}c$），代入椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得
$\frac{9{c}^{2}}{25{a}^{2}}+\frac{16{c}^{2}}{25{b}^{2}}=1$，即9b²c²+16a²c²=25a²b²．
∴9（a²-c²）c²+16a²c²=25a²（a²-c²）．
整理得：（e²-5）（9e²-5）=0．
解得e²=5（舍）或${e}^{2}=\frac{5}{9}$，
∴$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了点关于直线的对称点的求法，是中档题．