Question

5．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点E，F分别是棱CC₁，BB₁上的点，且EC=2FB．
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AB=EC=2，求二面角C-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，可得MBFG是平行四边形，即MB∥FG，由面面垂直的性质可得MB⊥平面ACC₁A₁，即FG⊥平面ACC₁A₁，可证得平面AEF⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M-xyz，则A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，0，2），$F（0，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{AC}=（-2，0，0）$，利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）证明：取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，则$MG=\frac{1}{2}EC=BF$，
又MG∥EC∥BF，
∴MBFG是平行四边形，故MB∥FG．
∵MB⊥AC，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
∴MB⊥平面ACC₁A₁，而BM∥FG，
∴FG⊥平面ACC₁A₁，
∵FG?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M-xyz，则A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，0，2），$F（0，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{AC}=（-2，0，0）$，$\overrightarrow{AF}=（-1，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{AE}=（-2，0，2）$，
设平面ACF的一个法向量$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}-2{x_1}=0\\-{x_1}+\sqrt{3}{y_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$
令y₁=1，则$\overrightarrow m=（0，1，-\sqrt{3}）$，
设平面AEF的一个法向量$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}-2{x_2}+2{z_2}=0\\-{x_2}+\sqrt{3}{y_2}+{z_2}=0\end{array}\right.$
令x₂=1，则$\overrightarrow n=（1，0，1）$，
设二面角C-AF-E的平面角θ，
则$cosθ=|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{{|-\sqrt{3}|}}{{2×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
∴二面角C-AF-E的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$

点评 本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．