Question

15．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+5≥0\\ x+y≥0\\ x≤3\end{array}\right.$，z=x+yi（i为虚数单位），则|z-4+5i|的最小值等于$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据复数的几何意义转化为两点间的距离进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
|z-4+5i|的几何意义是复平面内区域内的点到点（4，-5）的距离，
由图象知AD的距离最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即A（3，-3），
则|z-4+5i|=$\sqrt{（3-4）^{2}+（-3+5）^{2}}$=$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合复数的几何意义转化为距离问题是解决本题的关键．