Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，E为AD的中点，异面直线AP与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）证明：△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求二面角A-PE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知证明PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE．再由已知证明四边形BCDE为平行四边形，得BE∥CD．结合CD⊥AD，得BE⊥AD．再由线面垂直的判定得BE⊥平面PAD，进一步得到BE⊥PE，得到△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，则∠PDA为二面角P-CD-A的平面角为45°，设BC=1，得AD=PA=2．在平面ABCD中，过A作Ay⊥AD．以A为原点，分别以AD、Ay、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求得E，P，C的坐标，求出平面PEC与平面PAE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-PE-C的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
∵AD∥BC，AD=2BC，∴四边形ABCD为梯形，则AB与DC相交．
∵∠PAB=90°，∴PA⊥AB，
又异面直线AP与CD所成的角为90°，∴PA⊥CD．
∴PA⊥平面ABCD，则PA⊥BE．
∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}AD=ED$，
∴四边形BCDE为平行四边形，则BE∥CD．
∵∠ADC=90°，∴CD⊥AD，
∴BE⊥AD．
由BE⊥PA，BE⊥AD，PA∩AD=A，得BE⊥平面PAD，
∴BE⊥PE，则△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，则∠PDA为二面角P-CD-A的平面角为45°，
设BC=1，则AD=PA=2．
在平面ABCD中，过A作Ay⊥AD．
以A为原点，分别以AD、Ay、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则E（1，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0）．
$\overrightarrow{EC}=（1，1，0），\overrightarrow{EP}=（-1，0，2）$．
设平面PEC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（2，-2，1）$．
由图可知，平面PAE的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{-2}{1×3}=-\frac{2}{3}$．
∴二面角A-PE-C的余弦值为$-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查面面垂直的性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．