Question

16．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$的取值范围是（　　）

• A． [4，$\frac{17}{2}$]
• B． [$\frac{13}{3}$，$\frac{17}{2}$]
• C． [4，$\frac{37}{3}$]
• D． [$\frac{17}{2}$，$\frac{37}{3}$]

Answer 1

分析 首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最值．

解答 解：由已知得到可行域如图：由图象得到$\frac{y}{x}$的范围为[k_OB，k_OC]，即[$\frac{1}{3}$，2]，
所以z=$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$的最小值为4；（当且仅当y=2x=2时取得）；
当$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{3}$，z 最大值为$4×3+\frac{1}{3}=\frac{37}{3}$；
所以z=$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$的取值范围是[4，$\frac{37}{3}$]；
故选：C．

点评 本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用$\frac{y}{x}$目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求z 的范围．