Question

17．如图，四棱锥D-ABCM中，AD⊥DM，底面四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=4，平面AMD⊥平面ABCM．
（Ⅰ）证明：AD⊥BD；
（Ⅱ）若AD=DM，
（i）求直线BD与平面AMD所成角的正弦值；
（ii）求三棱锥D-MBC的体积．

Answer 1

分析 （I）由勾股定理得出BM⊥AM，故BM⊥平面ADM，得出BM⊥AD，结合AD⊥DM得出AD⊥平面BDM，从而有AD⊥BD；
（II）（i）由BM⊥平面ADM可知∠BDM为所求角，利用勾股定理求出DM，BM，BD，即可得出结论；
（ii）取AM中点E，连结DE，则可证DE⊥平面ABCM，求出DE，代入体积公式计算即可．

解答 （I）证明：∵四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=4，
∴$AM=BM=2\sqrt{2}$，
又AB=4，∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
∵面AMD⊥面ABCM，面AMD∩面ABCM=AM，BM?面ABCM，
∴BM⊥面ADM，∵AD?面ADM
∴BM⊥AD．
∵AD⊥DM，DM∩BM=M，DM?面BDM，BM?面BDM，
∴AD⊥面BDM，∵BD?面BDM，
∴AD⊥BD．
（II）解：（i）由（I）知BM⊥面AMD，
∴∠BDM即为直线BD与平面AMD所成角，
∵△ADM是等腰直角三角形，AM=2$\sqrt{2}$，
∴DM=2，∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴$sin∠BDM=\frac{BM}{BD}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（ii）取AM中点E，连结DE，
∵AD=DM，则DE⊥AM，
∵面AMD⊥面ABCM，面AMD∩面ABCM=AM，DE?面AMD，
∴DE⊥面ABCM，
∵DE=$\frac{1}{2}$AM=$\sqrt{2}$，
∴${V_{D-MBC}}=\frac{1}{3}{S_{△MBC}}•DE=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×\sqrt{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．