精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=logm
1+x
1-x
(其中m>0,m≠1)

(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)证明:函数f(x)具有性质:f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)

(3)若f(
a+b
1+ab
)=1
f(
a-b
1-ab
)=2
,且|a|<1,|b|<1,求f(a),f(b)的值.
分析:(1)先看定义域是否关于原点对称,再利用对数的运算性质,看f(-x)与f(x)的关系,依据奇函数、偶函数的定义进行判断.
(2)先利用对数的运算性质化简等式的左边,再化简等式的右边,直到左边和右边是同一个表达式,即可证明等式成立.
(3)利用第(2)的结论和本题中2个已知条件,得到2个关于f(a)和f(b)的方程,解出f(a)和f(b)的值.
解答:解:(1)由题意知,
1+x
1-x
>0,∴-1<x<1,定义域关于原点对称,
f(-x)=
log
1-x
1+x
m
=-
log
1+x
1-x
m
=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)∵f(x)+f(y)=
log
1+x
1-x
m
+
log
1+y
1-y
m
=
log
(1+x)(1+y)
(1-x)(1-y)
m

f(
x+y
1+xy
)=
log
1+
x+y
1+xy
1-
x+y
1+xy
m
=
log
1+xy+x+y
1+xy-x-y
m
=
log
(1+x)(1+y)
(1-x)(1-y)
m

f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)

(3)∵f(
a+b
1+ab
)=1
f(
a-b
1-ab
)=2
,∴f(a)+f(b)=1,
f(a)-f(b)=3,∴f(a)=2,f(b)=-1.
点评:本题考查函数的奇偶性、对数的运算性质和求函数值.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函数f(x)在P(0,f(0))的切线方程为y=5x+1,求实数a,b的值:
(2)当a<3时,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
的图象在点P(2,f(2))处的切线方程为l:y=x+b
(1)求出函数y=f(x)的表达式和切线l的方程;
(2)当x∈[
1
e
,e]
时(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)当k>0时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

查看答案和解析>>

同步练习册答案