Question

10．已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点F₂为圆心，过另一焦点F₁的圆被右准线截的两段弧长之比2：1，P（$\sqrt{2}$，1）为此平面上一定点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1．求椭圆的方程．

Answer 1

分析 利用以右焦点F₂为圆心，过另一焦点F₁的圆被右准线截的两段弧长之比2：1，得劣弧所对的圆心角为120°，从而右焦点到右准线的距离为$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=c，可得a，c的关系，利用P（$\sqrt{2}$，1）为此平面上一定点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1，根据向量的数量积运算，求出c，可得a，b，即可求出椭圆的方程．

解答 解：∵以右焦点F₂为圆心，过另一焦点F₁的圆被右准线截的两段弧长之比2：1，
∴劣弧所对的圆心角为120°，
∴右焦点到右准线的距离为$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=c，
∴a=$\sqrt{2}$c．
∵P（$\sqrt{2}$，1）为此平面上一定点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1，
∴（-c-$\sqrt{2}$，-1）•（c-$\sqrt{2}$，-1）=1，
∴2-c²=0，
∴c=$\sqrt{2}$，
∴a=2，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．