Question

20．已知A（1，-1），B（-1，1），在直线x-y-1=0上找一点P，使得||PA|-|PB||最大．

Answer 1

分析 由已知推导出O（0，0）是A（1，-1）关于直线x-y-1=0的对称点，A（1，-1），B（-1，1）关于原点O对称，当直线AB与直线x-y-1=0相交时，交点P使得||PA|-|PB||最大，P（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）使得||PA|-|PB||最大．

解答 解：设A（1，-1）关于直线x-y-1=0的对称点为C（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}-\frac{b-1}{2}-1=0}\\{\frac{b+1}{a-1}=-1}\end{array}\right.$，解得a=0，b=0，
∴C与原点O重合，即O（0，0）是A（1，-1）关于直线x-y-1=0的对称点，
∵A（1，-1），B（-1，1）关于原点O对称，如图，
∴当直线AB与直线x-y-1=0时，交点P使得||PA|-|PB||最大，
直线AB的方程为：$\frac{y-1}{x+1}=\frac{-1-1}{1+1}$，即x+y=0．
联立${\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.}_{\;}^{\;}$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）使得||PA|-|PB||最大．

点评 本题考查使两线段之差的绝对值最大的点的确定，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．