Question

10．已知定义在R上的奇函数f（x）=a×3^x+3^-x，a为常数．
（1）求a的值；
（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是减函数；
（3）解不等式f（x-1）+f（2x+3）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0解出a；
（2）设x₁＞x₂≥0，计算f（x₁）-f（x₂）并化简，只需证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可；
（3）利用单调性和奇偶性得出f（2x+3）＜f（1-x），等价于2x+3＞1-x，解出x．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即a+1=0，解得a=-1．
（2）f（x）=-3^x+3^-x，
设x₁＞x₂≥0，则f（x₁）-f（x₂）=3${\;}^{{x}_{2}}$-3${\;}^{{x}_{1}}$+3${\;}^{-{x}_{1}}$-3${\;}^{-{x}_{2}}$，
∵x₁＞x₂≥0，∴-x₁＜-x₂，
∴3${\;}^{{x}_{2}}$＜3${\;}^{{x}_{1}}$，3${\;}^{-{x}_{1}}$＜3${\;}^{-{x}_{2}}$，即3${\;}^{{x}_{2}}$-3${\;}^{{x}_{1}}$＜0，3${\;}^{-{x}_{1}}$-3${\;}^{-{x}_{2}}$＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=3${\;}^{{x}_{2}}$-3${\;}^{{x}_{1}}$+3${\;}^{-{x}_{1}}$-3${\;}^{-{x}_{2}}$＜0，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（x）是奇函数且在[0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在R上是减函数．
∵f（x-1）+f（2x+3）＜0．
∴f（2x+3）＜-f（x-1）=f（1-x），
∴2x+3＞1-x，
解得x＞$-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了函数单调性与奇偶性综合应用，属于基础题．