Question

5．定义在R上的函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1），f（x+1）=-f（x），且在[0，1]上单调递减，则（　　）

• A． f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{7}{3}$）＜f（$\frac{7}{5}$）
• B． f（$\frac{7}{5}$）＜f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{7}{3}$）
• C． f（$\frac{7}{3}$）＜f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{7}{5}$）
• D． f（$\frac{7}{5}$）＜f（$\frac{7}{3}$）＜f（$\frac{7}{2}$）

Answer 1

分析 由f（x+1）=-f（x），得函数的周期性，结合函数的单调性和周期性的关系进行判断即可．

解答 解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数是周期为2的周期函数，
∵f（1-x）=f（x+1），
∴函数f（x）关于x=1对称，
∴f（$\frac{7}{2}$）=f（$\frac{7}{2}$-2）=f（$\frac{3}{2}$），
f（$\frac{7}{3}$）=f（$\frac{7}{3}$-2）=f（$\frac{1}{3}$）=f（1-$\frac{2}{3}$）=f（1+$\frac{2}{3}$）=f（$\frac{5}{3}$）
∵在[0，1]上单调递减，
∴在在[1，2]上单调递增，
∵$\frac{7}{5}$＜$\frac{3}{2}$＜$\frac{5}{3}$，
∴f（$\frac{7}{5}$）＜f（$\frac{3}{2}$）＜f（$\frac{5}{3}$），
即f（$\frac{7}{5}$）＜f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{7}{3}$），
故选：B

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件求出函数的对称性和周期性，利用函数单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键．