Question

16．已知$\overrightarrow{OA}=（1，1）$，$\overrightarrow{OB}=（-1，2）$，以$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$为边作平行四边形OACB，则$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角的余弦为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知向量的坐标求出$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{AB}$的坐标，代入数量积求夹角公式得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}=（1，1）$，$\overrightarrow{OB}=（-1，2）$，
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（0，3）$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=（-2，1）$，
则$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$=3，$|\overrightarrow{OC}|=3，|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}$．
则$cos＜\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{AB}＞=\frac{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{3}{3×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础的计算题．