Question

11．已知a，b，c满足$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$+c=0，f（x）=ax²+bx+c
（1）如果a≠0，证明af（$\frac{1}{2}$）＜0；
（2）如果a=0，试判别方程f（x）=0在（0，1）内是否有解，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$+c=0，a≠0，证可将af（$\frac{1}{2}$）化为$-\frac{{a}^{2}}{12}$，进而得到结论；
（2）根据$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$+c=0，a=0，分b=0和b≠0两种情况，讨论方程f（x）=0在（0，1）内根的存在性，综合讨论结果，可得答案．

解答 证明：（1）∵f（x）=ax²+bx+c，
∴af（$\frac{1}{2}$）=a（$\frac{a}{4}$+$\frac{b}{2}$+c）=a（$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$+c$-\frac{a}{12}$）=$-\frac{{a}^{2}}{12}$，
又∵a≠0，
∴af（$\frac{1}{2}$）＜0；
解：（2）若a=0，则f（x）=bx+c，且$\frac{b}{2}$+c=0，
若b=0，则c=0，f（x）=0在（0，1）上恒成立；此时方程f（x）=0在（0，1）内有无数个解；
若b≠0，则b=-2c≠0，
则f（0）f（1）=c（b+c）=-c²＜0，
则f（x）在（0，1）内有唯一的零点，
即方程f（x）=0在（0，1）内有一解，
综上，方程f（x）=0在（0，1）内有解．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．