Question

8．设函数$f（x）=m-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，m∈R
（1）若f（x）为奇函数，求常数m的值；
（2）用函数单调性定义证明：f（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定义域为R，从而由f（x）为奇函数便可得到f（0）=0，这样即可求出m的值；
（2）根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根据指数函数的单调性证明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在R上为增函数．

解答 解．（1）∵f（x）为奇函数，f（x）的定义域为R；
∴f（0）=m-1=0；
∴m=1；
（2）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=m-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-（m-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）$=$\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$；
又$（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上为增函数．

点评 考查奇函数的定义，指数函数的值域，指数函数的单调性，以及奇函数在原点有定义时，在原点处的函数值为0，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后为分式的一般要通分．