Question

17．设函数f_n（x）=2a_nx³-3a_n+1x²+6x+1，a_n＞0，a₁=1，若f_n（x）有两个极值点α_n，β_n，且满足α_n+β_n-1=2ⁿα_nβ_n，其中n=1，2，3，…
（1）试用a_n表示a_n+1．
（2）求数列{α_n}的通项公式．
（3）设T_n=$\frac{{α}_{1}+{β}_{1}-1}{{a}_{2}}$+$\frac{{α}_{2}+{β}_{2}-1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{α}_{n}+{β}_{n}-1}{{a}_{n+1}}$，若不等式T_n-$\frac{{n}^{2}-6n+7}{{a}_{n+1}}$$＜\frac{1}{m}$+1对一切n∈N^*恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由${{f}^{'}}_{n}（x）=6{a}_{n}{x}^{2}-6{a}_{n+1}x+6$，得：${a}_{n}{x}^{2}-{a}_{n+1}x+1=0$，由此利用韦达定理结合已知条件推导即${a}_{n+1}={a}_{n}+{2}^{n}$，n∈N^*．
（2）由${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，n∈N^*，利用累加法能求出a_n=2ⁿ-1．
（3）由$\frac{{α}_{n}+{β}_{n}-1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{（2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用裂项求和法得到T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．由不等式T_n-$\frac{{n}^{2}-6n+7}{{a}_{n+1}}$$＜\frac{1}{m}$+1对一切n∈N^*恒成立，得到m＜$\frac{1-{2}^{n+1}}{{（n-3）}^{2}-1}$＜15，对一切n∈N^*恒成立，由此能求出正整数m的最大值．

解答 解：（1）∵函数f_n（x）=2a_nx³-3a_n+1x²+6x+1，
∴${{f}^{'}}_{n}（x）=6{a}_{n}{x}^{2}-6{a}_{n+1}x+6$，
由f_n'（x）=0，得：${a}_{n}{x}^{2}-{a}_{n+1}x+1=0$，
∴x=α_n、x=β_n是上方程的两根，由韦达定理：
$\left\{\begin{array}{l}{{α}_{n}+{β}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}\\{{α}_{n}{β}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}}}\end{array}\right.$，
由已知${α}_{n}+{β}_{n}-1={2}^{n}{α}_{n}{β}_{n}$，n∈N^*，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{{2}^{n}}{{a}^{n}}$，即${a}_{n+1}={a}_{n}+{2}^{n}$，n∈N^*．
（2）由（1）知：${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，n∈N^*，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
（3）∵$\frac{{α}_{n}+{β}_{n}-1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{（2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴T_n=$\frac{{α}_{1}+{β}_{1}-1}{{a}_{2}}$+$\frac{{α}_{2}+{β}_{2}-1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{α}_{n}+{β}_{n}-1}{{a}_{n+1}}$
=$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∵不等式T_n-$\frac{{n}^{2}-6n+7}{{a}_{n+1}}$$＜\frac{1}{m}$+1对一切n∈N^*恒成立，m是正整数，
∴1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{{n}^{2}-6n+7}{{2}^{n+1}-1}$$＜\frac{1}{m}+1$，对一切n∈N^*恒成立，m是正整数，
整理，得m＜$\frac{1-{2}^{n+1}}{{（n-3）}^{2}-1}$＜15，对一切n∈N^*恒成立，m是正整数，
∴正整数m的最大值是14．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查正整数的最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意韦达定理、裂项求和法的合理运用．