Question

12．若函数f（x）=2sin²x-cos²$\frac{x}{2}$在区间[0，π]有α，β两个零点，则sin（α+β）=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，求出函数f（x）的零点，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+β）的值．

解答 解：函数f（x）=2sin²x-cos²$\frac{x}{2}$=2（1-cos²x）-$\frac{1+cosx}{2}$=-（2cos²x+$\frac{1}{2}$cosx）+$\frac{3}{2}$ 
=-2（cos²x+$\frac{1}{4}$cosx）+$\frac{3}{2}$=-2•${（cosx+\frac{1}{8}）}^{2}$+$\frac{49}{32}$，
令f（x）=0，求得cosx=$\frac{3}{4}$，或cosx=-1，
∴函数的零点为x=arccos$\frac{3}{4}$，x=π，可以认为 α=arccos$\frac{3}{4}$，β=π，
∴cosα=$\frac{3}{4}$，cosβ=-1，sinα=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，sinβ=0．
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$•（-1）+$\frac{3}{4}$•0=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，求函数的零点，两角和的正弦公式，属于中档题．