Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+2mx-1，0≤x≤1}\\{mx+2，x＞1}\end{array}\right.$，若f（x）在区间[0，+∞）上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是（-2，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 分类讨论以确定方程的根的个数，从而化函数的零点的个数为方程的根的个数，从而解得．

解答 解：当0≤x≤1时，2x²+2mx-1=0，
易知x=0不是方程2x²+2mx-1=0的解，
故m=$\frac{1}{2x}$-x在（0，1]上是减函数，
故m≤$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
即m≤-$\frac{1}{2}$时，方程f（x）=0在[0，1]上有且只有一个解，
当x＞1时，
令mx+2=0得，m=-$\frac{2}{x}$，
故-2＜m＜0，
即当-2＜m＜0时，方程f（x）=0在（1，+∞）上有且只有一个解，
综上所述，若f（x）在区间[0，+∞）上有且只有2个零点，
则实数m的取值范围是（-2，-$\frac{1}{2}$]；
故答案为：（-2，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．