Question

13．已知函数f（x）=2^x+x-5
（1）判断函数的单调性；
（2）判断方程2^x+x-5=0在区间（1，2）上是否有实数根并证明．

Answer 1

分析 （1）由指数函数y=2^x在R上是增函数，y=x-5在R上是增函数可知函数f（x）=2^x+x-5在R上是增函数；
（2）可判断方程2^x+x-5=0在区间（1，2）上有一个实数根，利用函数零点的判定定理证明即可．

解答 解：（1）∵指数函数y=2^x在R上是增函数，y=x-5在R上是增函数；
∴函数f（x）=2^x+x-5在R上是增函数；
（2）方程2^x+x-5=0在区间（1，2）上有一个实数根，证明如下，
∵函数f（x）=2^x+x-5在区间（1，2）上连续且单调递增，
f（1）=2+1-5＜0，f（2）=4+2-5=1＞0，
故f（1）•f（2）＜0，
故函数f（x）=2^x+x-5在区间（1，2）上有且只有一个零点，
故方程2^x+x-5=0在区间（1，2）上有一个实数根．

点评 本题考查了函数的单调性的判断及函数的零点的判定定理的应用．