Question

8．如图，已知M、N、P分别是△ABC三边BC、CA、AB上的点，且$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，如果$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AC}$=b，选择基底{a，b}
（1）求$\overrightarrow{MN}$在基地下的分解式（用a，b表示$\overrightarrow{MN}$）
（2）设△ABC的重心为G，△MNP的重心为G′，用a，b表示$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{A{G}^{′}}$，你发现了什么？

Answer 1

分析 （1）先用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$；
（2）利用重心的性质得出$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{N{G}^{′}}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$，$\overrightarrow{A{G}^{′}}$=$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{N{G}^{′}}$并化成用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$来表示，根据化简结果得出结论．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$=$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）-$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=-$\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$．
（2）设BC中点为D，则$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$，
同理，$\overrightarrow{N{G}^{′}}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AP}$）-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$-\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{A{G}^{′}}$=$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{N{G}^{′}}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{G}^{′}}$，即G和G′重合．

点评 本题考查了平面向量的加法的几何意义，利用重心的性质得出向量的关系是关键．