Question

15．已知△ABC中，2sinBsinC=1+cosA，2sinAsinC=cosB，若cosA=$\frac{n}{m}$（m、n为互质的整数，且m＞0），则m+n=1．

Answer 1

分析 由2sinBsinC=1+cosA及和差角的三角函数公式可得B=C，再由2sinAsinC=cosB可得A-C=$\frac{π}{2}$或A-C=-$\frac{π}{2}$，由三角形的内角和可解得A，结合题意可得答案．

解答 解：∵在△ABC中2sinBsinC=1+cosA，
∴2sinBsinC=1-cos（B+C）=1-cosBcosC+sinBsinC，
∴sinBsinC+cosBcosC=1，即cos（B-C）=1，
∴结合三角形角的范围可得B=C，
又∵在△ABC中2sinAsinC=cosB，
∴2sinAsinC=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC，
∴sinAsinC+cosAcosC=0，即cos（A-C）=0，
∴A-C=$\frac{π}{2}$或A-C=-$\frac{π}{2}$，
当A-C=$\frac{π}{2}$时，结合B=C和A+B+C=π可解得A=$\frac{2π}{3}$，
故cosA=-$\frac{1}{2}$，∴m=2，n=-1，故m+n=1；
当A-C=-$\frac{π}{2}$时，结合B=C和A+B+C=π可解得A=0，不合题意．
故答案为：1

点评 本题考查解三角形，涉及两角和与差的三角函数和分类讨论的思想，属中档题．