Question

5．某学生对函数f（ x ）=x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数y=f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②点（$\frac{π}{2}$，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x 均成立．其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用特值法判断前3个结论，再判断第4个结论即可．

解答 解：①特值法．f（-π）=π，f（0）=0，故函数y=f（x）在[-π，0]上单调递增错，
②若关于（$\frac{π}{2}$，0）中心对称，则f（x）=-f（π-x），而f（π）=-π，f（0）=0，故②错．
③若函数y=f（x）图象关于直线x=π对称，则f（x）=f（2π-x），
而f（2π）=2π，f（0）=0，故③错．
④当x=0时，|f（0）|≤M•0，
当x≠0时，M≥|$\frac{f（x）}{x}$|=|cosx|恒成立，
故M≥1即可，所以④正确．
故选：A．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用．