Question

4．设f（x）是定义在R上的增函数，令g（x）=f（x）-f（2015-x）
（1）求证：g（x）+g（2015-x）是定值；
（2）判断g（x）在R上的单调性，并证明；
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求证：x₁+x₂＞2015．

Answer 1

分析 （1）可根据g（x）=f（x）-f（2015-x）求出g（2015-x），从而便可得出g（x）+g（2015-x）=0，这便得出g（x）+g（2015-x）为定值；
（2）根据f（x）为增函数便可看出g（x）在R上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后根据f（x）为R上的增函数便可得出f（x₁）＜f（x₂），f（2015-x₂）＜f（2015-x₁），从而便可得出g（x₁）＜g（x₂），这便说明g（x）在R上单调递增；
（3）可由（1）得到g（x₁）=-g（2015-x₁），从而便可以得到g（x₂）＞g（2015-x₁），然后根据g（x）在R上为增函数便可得出x₁+x₂＞2015．

解答 解：（1）证明：g（x）+g（2015-x）=f（x）-f（2015-x）+f（2015-x）-f（x）=0；
∴g（x）+g（2015-x）为定值；
（2）g（x）在R上单调递增，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂；
∵f（x）在R上为增函数；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
又2015-x₂＜2015-x₁；
∴f（2015-x₂）＜f（2015-x₁）；
∴-f（2015-x₁）＜-f（2015-x₂）；
∴f（x₁）-f（2015-x₁）＜f（x₂）-f（2015-x₂）；
即g（x₁）＜g（x₂）；
∴g（x）在R上单调递增；
（3）证明：根据（1）知g（x₁）=-g（2015-x₁）；
∴由g（x₁）+g（x₂）＞0得，-g（2015-x₁）+g（x₂）＞0；
∴g（x₂）＞g（2015-x₁）；
由（2）知g（x）在R上为增函数；
∴x₂＞2015-x₁；
∴x₁+x₂＞2015．

点评 考查已知f（x）求f[g（x）]，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，以及不等式的性质．