Question

7．某企业生产某种产品，在2011年至2015年所获利润（单位：十万元）的数据如下表：

年份	2011	2012	2013	2014	2015
年份代号t	1	2	3	4	5
利润y	5.8	6.6	7.1	7.4	8.1

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该企业所获利润的变化情况，并预测该企业在2016年的所获利润．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （I）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问所求的线性回归方程，把x=6代入线性回归方程，预测该企业在2016年的所获利润．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5）=3，…．（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5.8+6.6+7.1+7.4+8.1）=7，…．（2分）
$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55，…（3分）
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=1×5.8+2×6.6+3×7.1+4×7.4+5×8.1=110.4，…．（5分）
∴b=$\frac{110.4-5×3×7}{55-5×{3}^{2}}$=0.54…．（7分）
a=7-3×0.54=5.38…（8分）
∴y关于x的线性回归方程为；y=0.54x+5.38…．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的回归方程y=0.54x+5.38，可知b=0.54，
从2011年至2015年该企业所获利润逐年增加，平均每年增加0.54十万元；   …．（10分）
将2015年的年份代号x=6代入（Ⅰ）中的回归方程得y=8.62十万元
故该企业在2016年的所获利润为8.62十万元．…．（13分）

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，是一个中档题，解题时运算量比较大，注意利用公式求系数时，不要在运算上出错．属于中档题．