Question

17．已知复数z₁=i（1+i）²，
（1）求$\overline{{z}_{1}}$及|z₁|；
（2）当复数z满足|z+3-4i|=1，求|z-z₁|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）化简复数z₁，求出$\overline{{z}_{1}}$与|z₁|的值；
（2）设复数z=x+yi，x、y∈R，求出点z的轨迹是单位圆，画出图形，结合图形求出|z-z₁|的最值即可．

解答 解：∵复数z₁=i（1+i）²=i（1+2i-1）=2i²=-2，
（1）∴$\overline{{z}_{1}}$=-2，
|z₁|=2；
（2）设复数z=x+yi，x、y∈R，
∵|z+3-4i|=1，
∴|（x+3）+（y-4）i|=1，
∴（x+3）²+（y-4）²=1，
它表示圆心为P（-3，4），半径为1的圆；
画出图形，如图所示；
则圆心P到复数z₁点A的距离为
|PA|=$\sqrt{{（-3+2）}^{2}{+4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
所以|z-z₁|的最大值为|PA|+r=$\sqrt{17}$+1，
最小值为|PA|-r=$\sqrt{17}$-1．

点评 本题考查了复数的概念与代数运算问题，也考查了求轨迹方程的应用问题，是基础题目．