Question

18．已知方程$\frac{1}{2}$x²=|2x+a|有四个不同的解，则实数a的取值范围是-2＜a＜2且a≠0．

Answer 1

分析 ①当x≥-$\frac{a}{2}$时，方程可化为x²-4x-2a=0，从而可判断x²-4x-2a=0在[-$\frac{a}{2}$，+∞）上有两个不同的解，②当x＜-$\frac{a}{2}$时，方程可化为x²+4x+2a=0，从而讨论确定方程在
（-∞，-$\frac{a}{2}$）上解的个数，从而确定实数a的取值范围．

解答 解：①当x≥-$\frac{a}{2}$时，
方程$\frac{1}{2}$x²=|2x+a|可化为x²-4x-2a=0，
当△=16+8a＞0，即a＞-2时，
x²-4x-2a=0在R上有两个不同的解，
又∵对称轴在区间（-$\frac{a}{2}$，+∞）上，
且$\frac{{a}^{2}}{4}$-2（2（-$\frac{a}{2}$）+a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，
∴x²-4x-2a=0在[-$\frac{a}{2}$，+∞）上有两个不同的解，
②当x＜-$\frac{a}{2}$时，
方程$\frac{1}{2}$x²=|2x+a|可化为x²+4x+2a=0，
当△=16-8a＞0，即a＜2时，
x²+4x+2a=0在R上有两个不同的解，
又∵对称轴在区间（-∞，-$\frac{a}{2}$）上，
且$\frac{{a}^{2}}{4}$-2（2（-$\frac{a}{2}$）+a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，
当a≠0时，x²-4x-2a=0在（-∞，-$\frac{a}{2}$）上有两个不同的解，
当a=0时，x²-4x-2a=0在（-∞，-$\frac{a}{2}$）上只有一个解，
综上所述，方程$\frac{1}{2}$x²=|2x+a|有四个不同的解时，
-2＜a＜2且a≠0．
故答案为：-2＜a＜2且a≠0．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及绝对值方程的解法与应用．