Question

8．如图所示，正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，若E是PB的中点，则异面直线PD与AE所成角的正切值为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 取AD中点M，连接MO，PM，连接AE，OE，由OE∥PD，知∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．由此能求出异面直线PD与AE所成角的正切值．

解答 解：取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∵侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∴tan∠PAO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
设AB=a，则AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴PO=AO•tan∠POA=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$a，
连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE?平面PBD，∴AO⊥OE．
∵OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}\sqrt{P{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\frac{5}{4}$a，
∴tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．