Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2（a_n-1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+2}-1）}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2（a_n-1），得S_n-1=2（a_n-1-1），两式相减，a_n=2a_n-2a_n-1，从而得到{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+2}-1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+2}-1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$），利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n，从而证明T_n＜$\frac{8}{9}$．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2（a_n-1），①
∴a₁=S₁=2（a₁-1），
解得a₁=2，
当n≥2时，S_n-1=2（a_n-1-1），②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，n≥2，
整理，得a_n=2a_n-1，n≥2，
∴{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
证明：（2）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+2}-1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+2}-1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$），
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{15}$+$\frac{1}{7}-\frac{1}{31}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}-1}-\frac{1}{{2}^{n}-1}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$）
=$\frac{2}{3}$（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}-\frac{1}{{2}^{n+2}-1}$）
=$\frac{8}{9}$-$\frac{2}{3}（\frac{1}{{2}^{n+1}-1}+\frac{1}{{2}^{n+2}-1}）$＜$\frac{8}{9}$．
∴T_n＜$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{8}{9}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．