Question

17．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长度构成以首项为3的等差数列，则△ABC的最小角的余弦值为$\frac{13}{14}$．

Answer 1

分析 设出等差数列的三边为3，3+x，2x+3，由余弦定理列式求出x，则利用余弦定理求出答案．

解答 解：设三角形的三边分别为3，3+x，3+2x，（x＞0），
则cos120°=$\frac{{3}^{2}{+（3+x）}^{2}{-（3+2x）}^{2}}{2×3×（3+x）}$=-$\frac{1}{2}$，
化简得：x²+x-6=0，解得x=2或-3（舍去），
∴三角形的3边长分别为：3，5，7．
设最小角为θ，则cosθ=$\frac{{5}^{2}{+7}^{2}{-3}^{2}}{2×5×7}$=$\frac{13}{14}$．
故答案为：$\frac{13}{14}$．

点评 本题考查了等差数列的定义，考查了余弦定理的应用，是基础题．