Question

2．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$na_n+a_n-c（c是常数，n∈N^*），a₂=6．
（Ⅰ）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{{2}^{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使得T_n＞$\frac{199}{100}$恒成立的最小的正整数n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=$\frac{1}{2}$na_n+a_n-c，得a₁=2c，a₂=3c，从而得到c=2，由此能求出c的值及数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由${b}_{n}=\frac{{a}_{n}-2}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2n+2-2}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法得到T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，由此能求出正整数n的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因为S_n=$\frac{1}{2}$na_n+a_n-c，
所以当n=1时，${S}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}+{a}_{1}-c$，解得a₁=2c，
当n=2时，S₂=a₂+a₂-c，即a₁+a₂=a₂+a₂-c，
解得a₂=3c，所以3c=6，解得c=2，
则a₁=4，数列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+2．…4分
（Ⅱ）因为${b}_{n}=\frac{{a}_{n}-2}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2n+2-2}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，…6分
所以T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
所以T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，…8分
因为T_n+1-T_n=（2-$\frac{2+n+1}{{2}^{n+1}}$）-（2-$\frac{2+n+1}{{2}^{n+1}}$）-（2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$）=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$＞0，
所以数列{T_n}单调递增，…10分
所以T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＞$\frac{199}{100}$，所以n≥11．…11分
故正整数n的最小值为11．…12分．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查正整数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．