Question

设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；

（2）设，求数列的伴随数列的前之和；

（3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列

的前项和．

Answer 1

（1）1,1,1,2,2,2,3；（2）50；（3）

【解析】

试题分析：（1）本题解题的关键是抓住新定义中“是数列中，满足不等式的所有项的项数的最大值”，正确理解题中新定义的内容，根据伴随数列的定义直接写出数列1,4,7的伴随数列；（2）对于这类问题，我们要首先应弄清楚问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时的常用方法即可解决，根据伴随数列的定义得，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前20项的和；（3）数列是特殊的函数，以数列为背景是数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，由题意和与的关系，代入得，求出伴随数列的各项，再对分类讨论得.

试题解析： 【解析】
（1）由伴随数列的定义得，

数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3（后面加3算对） 5分

（2）由，得

∴ 当时， 2分

当时， 2分

当时， 2分

∴ 1分

（3）∵ ∴ 1分

当时，

∴ 1分

由得：

因为使得成立的的最大值为，

所以 1分

当时：

2分

当时：

2分

所以 1分

考点：1、新定义求数列；2、数列求和；3、数列的应用.