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    【题目】以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”，设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.

    （1）求椭圆及其“准圆"的方程；

    （2）若过点的直线与椭圆交于、两点，当时，试求直线交“准圆”所得的弦长；

    （3）射线与椭圆的“准圆”交于点，若过点的直线，与椭圆都只有一个公共点，且与椭圆的“准圆”分别交于，两点，试问弦是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.

    【答案】（1）；（2）；（3）是准圆的直径，具体见解析

    【解析】

    （1）根据所给条件可知，，根据面积公式可知 ，最后解方程组求解椭圆方程；

    （2）设直线为，与椭圆方程联立，，表示根与系数的关系，并且代入的数量积的坐标表示，求，最后代入直线和圆相交的弦长公式；

    （3）首先求点的坐标，当直线与椭圆有一个交点时，，得到，可知 ，可知两条切线互相垂直，根据圆的性质可得答案.

    （1），

    ，，

    ，

    准圆.

    （2），设：

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    即

    ，圆心与该直线距离，

    弦长.

    （3）

    ，

    整理为：

    因为直线与圆只有1个交点，

    整理为：

    椭圆切线与垂直，即，

    在准圆上，，也在准圆上，

    ，是准圆的直径

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    （2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围；

    （3）求证：对任意的正整数，都有成立.

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    （2）如图（2）所示，双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，求此双曲线的离心率．

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