【题目】如图,三棱柱中,
,
,
,且平面
⊥平面
.
(1)求三棱柱的体积.
(2)点在棱
上,且
与平面
所成角的余弦值为
(
),求
的长.
【答案】(1)1;(2)
【解析】
(1)在平面内过
作
与
交于点
,推导出
平面
,利用
,解得
,由此能求出三棱柱的高,从而可得结果;(2)先利用余弦定理与等腰三角形的性质证明
,以
为坐标原点,以
分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,
,利用向量垂直数量积为零,求得平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
(1)如图,在平面内过
作
与
交于点
,
因为平面平面
,且平面
平面
,
平面
,
所以平面
,所以
为
与平面
所成角,
由公式,解得
,
所以,
,
又的面积为
,所以三棱柱
的体积为
.
(2)由(1)得在中,
为
中点,连接
,
由余弦定理得,解得
,
所以,(或者利用余弦定理求
)
以为坐标原点,以
分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,
则,
所以
设
,设平面
的法向量为
,
则,即
,不妨令
,则
,即
.
,
又因为与平面
所成角的余弦值为
,
所以
,
解得或
,
又因为,所以
.
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【题目】设椭圆的离心率
,左焦点为
,右顶点为
,过点
的直线交椭圆于
两点,若直线
垂直于
轴时,有
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线:
上两点
,
关于
轴对称,直线
与椭圆相交于点
(
异于点
),直线
与
轴相交于点
.若
的面积为
,求直线
的方程.
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【题目】以椭圆:
的中心
为圆心,
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”,设椭圆
的左顶点为
,左焦点为
,上顶点为
,且满足
,
.
(1)求椭圆及其“准圆"的方程;
(2)若过点的直线
与椭圆
交于
、
两点,当
时,试求直线
交“准圆”所得的弦长;
(3)射线与椭圆
的“准圆”交于点
,若过点
的直线
,
与椭圆
都只有一个公共点,且与椭圆
的“准圆”分别交于
,
两点,试问弦
是否为”准圆”的直径?若是,请给出证明:若不是,请说明理由.
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【题目】如图所示将同心圆环均匀分成n()格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内,使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同?
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【题目】设f(x)=ax2+(1-a)x+a-3.
(1)若不等式f(x)≥-3对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式f(x)<a-2(a∈R).
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点,离心率等于
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右焦点
作直线
交椭圆
于
、
两点,交
轴于
点,若
,
,求证:
为定值.
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【题目】下列说法中错误的是__________(填序号)
①命题“,有
”的否定是“
”,有
”;
②已知,
,
,则
的最小值为
;
③设,命题“若
,则
”的否命题是真命题;
④已知,
,若命题
为真命题,则
的取值范围是
.
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【题目】已知以椭圆C:(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2上,A、B在椭圆C上,若矩形ABCD的周长为,求直线AB的方程.
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