【题目】在平面直角坐标系中,动圆与圆外切,与圆内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)直线过点且与动圆圆心的轨迹交于、两点.是否存在面积的最大值,若存在,求出的面积;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,面积的最大值为,理由见解析.
【解析】
(1)设动圆的半径为,利用几何关系转化两圆内切和外切的问题,可得出,可得知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆,并设该椭圆的方程为,利用椭圆的定义求出的值,可求出的值,由此可得出动点的轨迹方程;
(2)设直线的方程为,设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,并计算出的面积关于的表达式,换元,利用双勾函数的单调性可得出面积的最大值.
(1)设点,动圆的半径为,
由题意知,,,
由椭圆定义可知,动圆圆心在以、为焦点的椭圆上,
设该椭圆的方程为,且,,.
由于圆内切于圆于点,则.
因此,动圆圆心的轨迹方程为;
(2)存在面积的最大值.
因为直线过点,可设直线的方程为或(舍).
则,整理得 .
由.
设点、,则,.
则,
因为.
设,则,则.
设在区间上为增函数,所以.
所以,当且仅当时取等号,即.
因此,面积的最大值为.
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【题目】如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业以下简称外卖A、外卖的服务质量进行了调查,从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人,每人分别对这两家外卖企业评分,满分均为100分,并将分数分成5组,得到以下频数分布表:
分数 人数 种类 | |||||
外卖A | 50 | 150 | 100 | 400 | 300 |
外卖B | 100 | 100 | 300 | 200 | 300 |
表中得分越高,说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分,则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次:
分数 | ||||
服务质量指标 | 0 | 1 | 2 | 3 |
视频率为概率,解决下列问题:
从该市使用过外卖A的市民中任选5人,记对外卖A服务质量评价较高的人数为X,求X的数学期望.
从参与调查的市民中随机抽取1人,试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率;
在M市工作的小王决定从外卖A、外卖B这两种网络外卖中选择一种长期使用,如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看,他选择哪种外卖更合适?试说明理由.
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【题目】如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=,O是AC的中点,E是BD的中点.
(1)证明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
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【题目】已知是由非负整数组成的无穷数列,对每一个正整数,该数列前项的最大值记为,第项之后各项的最小值记为,记.
(1)若数列的通项公式为,求数列的通项公式;
(2)证明:“数列单调递增”是“”的充要条件;
(3)若对任意恒成立,证明:数列的通项公式为.
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【题目】已知是抛物线上一点,经过点的直线与抛物线交于、两点(不同于点),直线、分别交直线于点、.
(1)求抛物线方程及其焦点坐标;
(2)求证:以为直径的圆恰好经过原点.
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【题目】以椭圆:的中心为圆心,为半径的圆称为该椭圆的“准圆”,设椭圆的左顶点为,左焦点为,上顶点为,且满足,.
(1)求椭圆及其“准圆"的方程;
(2)若过点的直线与椭圆交于、两点,当时,试求直线交“准圆”所得的弦长;
(3)射线与椭圆的“准圆”交于点,若过点的直线,与椭圆都只有一个公共点,且与椭圆的“准圆”分别交于,两点,试问弦是否为”准圆”的直径?若是,请给出证明:若不是,请说明理由.
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