【题目】已知函数(
为自然对数的底数,
为常数,并且
).
(1)判断函数在区间
内是否存在极值点,并说明理由;
(2)若当时,
恒成立,求整数
的最小值.
【答案】(1)无极值点;(2)0.
【解析】
(1)由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可;
(2)由题意结合导函数研究函数的单调性,据此讨论实数k的最小值即可.
(1),
令,则f'(x)=exg(x),
恒成立,所以g(x)在(1,e)上单调递减,
所以g(x)<g(1)=a﹣1≤0,所以f'(x)=0在(1,e)内无解.
所以函数f(x)在区间(1,e)内无极值点.
(2)当a=ln2时,f(x)=ex(﹣x+lnx+ln2),定义域为(0,+∞),
,令
,
由(Ⅰ)知,h(x)在(0,+∞)上单调递减,又,h(1)=ln2﹣1<0,
所以存在,使得h(x1)=0,且当x∈(0,x1)时,h(x)>0,即f'(x)>0,
当x∈(x1,+∞)时,h(x)<0,即f'(x)<0.
所以f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,+∞)上单调递减,
所以.
由h(x1)=0得,即
,
所以,
令,则
恒成立,
所以r(x)在上单调递增,所以
,所以f(x)max<0,
又因为,
所以﹣1<f(x)max<0,所以若f(x)<k(k∈Z)恒成立,则k的最小值为0.
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【题目】在直角坐标系中,直线
与抛物线
交于
,
两点,且
.
(1)求的方程;
(2)试问:在轴的正半轴上是否存在一点
,使得
的外心在
上?若存在,求
的坐标;若不存在,请说明理由..
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【题目】在平面直角坐标系中,动圆
与圆
外切,与圆
内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)直线过点
且与动圆圆心
的轨迹交于
、
两点.是否存在
面积的最大值,若存在,求出
的面积;若不存在,说明理由.
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【题目】已知梯形中,
,
,
,
,
是
上的点,
是
的中点,沿
将梯形
折起,使平面
平面
.
(1)当时,求证:
;
(2)记以为顶点的三棱锥的体积为
,求
的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角
的大小.
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【题目】市面上有某品牌型和
型两种节能灯,假定
型节能灯使用寿命都超过5000小时,经销商对
型节能灯使用寿命进行了调查统计,得到如下频率分布直方图:
某商家因原店面需要重新装修,需租赁一家新店面进行周转,合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业.经了解,型20瓦和
型55瓦的两种节能灯照明效果相当,都适合安装.已知
型和
型节能灯每支的价格分别为120元、25元,当地商业电价为0.75元/千瓦时,假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时,若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.(用频率估计概率)
(1)若该商家新店面全部安装了型节能灯,求一年内恰好更换了2支灯的概率;
(2)若只考虑灯的成本和消耗电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯,请说明理由.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. “”是“
”成立的充分不必要条件
B. 命题,则
C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40
D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为,则回归直线方程为
.
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【题目】某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业(共10个企业)进行综合评估,得分情况如茎叶图所示.
(Ⅰ)根据茎叶图,求乙地对企业评估得分的平均值和方差;
(Ⅱ)规定得分在85分以上为优秀企业. 若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个,求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.
注:方差
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【题目】已知半圆:
,
、
分别为半圆
与
轴的左、右交点,直线
过点
且与
轴垂直,点
在直线
上,纵坐标为
,若在半圆
上存在点
使
,则
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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【题目】设函数.
(1)若在其定义域内为单调递增函数,求实数
的取值范围;
(2)设,且
,若在
上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围;
(3)求证:对任意的正整数,都有
成立.
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