Question

【题目】在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；

（3）设直线与平面相交于点，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证；

（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；

（3）设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.

（1）证明:取中点为,连接,

因为是等边三角形,所以,

因为且相交于,所以平面,所以,

因为,所以,

因为,在平面内,所以,

所以.

（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,

因为在棱上,可设,

所以,

设平面的法向量为,因为,

所以,即,令,可得,即,

设直线与平面所成角为,所以,

可知当时,取最大值.

（3）设,则有,得,

设,那么,所以,

所以.

因为,

,

所以.

又因为,所以,

,设平面的法向量为,

则,即,,可得,即

因为在平面内,所以,所以,

所以,即,

所以或者（舍）,即.