Question

【题目】已知函数.

（1）当时，设，为的两个不同极值点，证明：；

（2）设，为的两个不同零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导函数，，为的两个不同极值点，转化为为方程的两不等正根，再利用韦达定理和基本不等式即可证明；

（2）要证明，只要证明和，分别利用导数进行证明即可.

(1)当时，，

，

为的两个不同极值点，

为方程的两不等正根，

，

且由韦达定理，

，

.

（2）要证明，

即，

下面分别证明和，

两式相加即得结论.

（i），

令，

即证.

令函数，则，

在单调递增，在单调递减，

.

（ii）再证明，

即.

为的两个不同零点，不妨设，

①

②

①-②可得，

两边同时乘以，

可得，

即.

令，则.

即证，

即，

即证.

令函数，

则，

在单调递增，

.

由（i）（ii）可得，

.