【题目】已知函数(
为常数,
).
(Ⅰ)若是函数
的一个极值点,求
的值;
(Ⅱ)求证:当时,
在
上是增函数;
(Ⅲ)若对任意的(1,2),总存在
,使不等式
成立,求实数
的取范围.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)略
(Ⅲ)实数的取值范围为
.
【解析】
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用.以及不等是的求解,和函数单调性的判定的综合运用.
(1)因为
由已知,得即
, 得到a的值,
(2)当时,
当
时,
.又
,
故
在
上是增函数
(3)当时,由(Ⅱ)知,
在
上的最大值为
于是问题等价于:对任意的,不等式
恒成立.
利用构造函数得到结论.
解:……………1分
(Ⅰ)由已知,得即
,
……3分
经检验,满足条件.……………………………………4分
(Ⅱ)当时,
…………5分
当
时,
.又
,
故
在
上是增函数
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知,
在
上的最大值为
于是问题等价于:对任意的,不等式
恒成立.
记
则…………………………9分
当时,有
,且
在区间(1,2)上递减,且
,则
不可能使
恒成立,故必有
…………11分
当,且
若,可知
在区间
上递减,在此区间
上有
,与
恒成立矛盾,故
,这时
,即
在(1,2)上递增,恒有
满足题设要求.
,即
,所以,实数
的取值范围为
.……………………14分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近几年来我国电子商务行业发展迅猛,2016年元旦期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)完成商品和服务评价的列联表,并说明是否可以在犯错误的概率不超过
的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量.
①求对商品和服务全好评的次数的分布列(概率用组合数算式表示);
②求的数学期望和方差.
参考数据及公式如下:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(,其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线的参数方程为
(
为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
,以原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设
点的极坐标为
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若过点且倾斜角为
的直线
与曲线
交于
两点,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的右焦点为
,右顶点为
.已知
,其中
为原点,
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程及离心率的值;
(2)设过点的直线
与椭圆交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
.若
,且
,求直线
的斜率的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知由n(n∈N*)个正整数构成的集合A={a1,a2,…,an}(a1<a2<…<an,n≥3),记SA=a1+a2+…+an,对于任意不大于SA的正整数m,均存在集合A的一个子集,使得该子集的所有元素之和等于m.
(1)求a1,a2的值;
(2)求证:“a1,a2,…,an成等差数列”的充要条件是“”;
(3)若SA=2020,求n的最小值,并指出n取最小值时an的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业参加项目生产的工人为
人,平均每人每年创造利润
万元.根据现实的需要,从
项目中调出
人参与
项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润
万元(
),
项目余下的工人每人每年创造利图需要提高
(1)若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来
名工人创造的年总利润,则最多调出多少人参加
项目从事售后服务工作?
(2)在(1)的条件下,当从项目调出的人数不能超过总人数的
时,才能使得
项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),曲线
:
.以
为极点,
轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线(
)与曲线
的异于极点的交点为
,与曲线
的交点为
,求
.
【答案】(1) 的极坐标方程为
,
的极坐标方程为
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先根据三角函数平方关系消参数得曲线,再根据
将曲线
的
极坐标方程;(2)将
代人曲线
的极坐标方程,再根据
求
.
试题解析:(1)曲线的参数方程
(
为参数)
可化为普通方程,
由,可得曲线
的极坐标方程为
,
曲线的极坐标方程为
.
(2)射线(
)与曲线
的交点
的极径为
,
射线(
)与曲线
的交点
的极径满足
,解得
,
所以.
【题型】解答题
【结束】
23
【题目】设函数.
(1)设的解集为
,求集合
;
(2)已知为(1)中集合
中的最大整数,且
(其中
,
,
为正实数),求证:
.
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